Có bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Có bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là đỉnh của đa giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của đa giác | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Ví dụ 1: Cho đa giác đều $(H)$ gồm 16 đỉnh, có bao nhiêu tứ giác có các đỉnh là đỉnh của $(H)$ nhưng không có cạnh nào là cạnh của $(H).$

A. $110.$

B. $2640.$

C. $660.$

D. $1320.$

Giải. Gọi các đỉnh của đa giác là ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{16}}.$

Để chọn được một tứ giác thoả mãn ta thực hiện qua các công đoạn:

Chọn một đỉnh có 16 cách, giả sử là ${{A}_{1}}.$
Ta tìm số cách chọn ba đỉnh còn lại, tức ba đỉnh ${{A}_{i}},{{A}_{j}},{{A}_{k}}$ và giữa ${{A}_{1}},{{A}_{i}}$ có ${{x}_{1}}$ đỉnh; giữa ${{A}_{i}},{{A}_{j}}$ có ${{x}_{2}}$ đỉnh; giữa ${{A}_{j}},{{A}_{k}}$ có ${{x}_{3}}$ đỉnh và giữa ${{A}_{k}},{{A}_{1}}$ có ${{x}_{4}}$ đỉnh, theo giả thiết có $\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=16-4=12 \\ & {{x}_{m}}\ge 1,m=\overline{1,4}\\ \end{align} \right..$

Số cách chọn ra ba đỉnh này bằng số nghiệm tự nhiên của phương trình ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}=12$ và bằng $C_{12-1}^{4-1}=C_{11}^{3}.$

>Xem thêm công thức nghiệm của phương trình này ở Bài toán chia kẹo euler và ứng dụng

Vậy số các tứ giác có thể bằng $16C_{11}^{3},$ tuy nhiên vì vai trai trò bốn đỉnh như nhau nên mỗi đa giác được tính 4 lần, do đó số tứ giác bằng $\dfrac{16C_{11}^{3}}{4}=4C_{11}^{3}=660.$ Chọn đáp án C.

>>Chọn ngẫu nhiên ba số nguyên đôi một khác nhau thuộc đoạn [1;8]. Xác suất để ba số được chọn ra là độ dài ba cạnh một tam giác tù bằng

Ví dụ 2: Cho một đa giác $(H)$ gồm 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn tâm $O.$ Người ta lập một tứ giác tuỳ ý có bốn đỉnh là các đỉnh của $(H).$ Xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của $(H)$ gần nhất với số nào dưới đây ?

A. $0,854.$

B. $0,1345.$

C. $0,4035.$

D. $0,807.$

Lời giải: Tứ giác có các cạnh là đường chéo của đa giác tương đương với tứ giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

Xác suất cần tính bằng $\dfrac{\dfrac{60C_{(60-4)-1}^{4-1}}{4}}{C_{60}^{4}}=\dfrac{15C_{55}^{3}}{C_{60}^{4}}=\dfrac{26235}{32509}\approx 0,807.$ Chọn đáp án D.

Bài tập dành cho bạn đọc tự luyện

Câu 15. Cho đa giác đều $(H)$ gồm 24 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên ra 4 đỉnh, xác suất để để chọn được 4 đỉnh là 4 đỉnh của một tứ giác nhưng không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ bằng

A. $\dfrac{323}{3542}.$

B. $\dfrac{969}{1771}.$

C. $\dfrac{969}{3542}.$

D. $\dfrac{323}{1771}.$

Câu 16. Quanh một hồ nước hình tròn có trồng 10 cây xanh, người ta chặt đi ngẫu nhiên 4 cây. Xác suất để trong 4 cây bị chặt không có hai cây cạnh nhau bằng

A. $\dfrac{5}{21}.$

B. $\dfrac{10}{21}.$

C. $\dfrac{37}{42}.$

D. $\dfrac{5}{42}.$