Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 chương trình mới

1. Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

- Trong một tam giác vuông:

+ Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

+ Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Trong tam giác vuông ABC, ta có:

b = a.sin B = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB;

b = c.tan B = c.cotC; c = b.tanC = b.cotB.

- Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán giải tam giác vuông.

2. Bài tập về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

2.1 Bài tập về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 kết nối tri thức

Bài 4.8 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

a) Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có: a2 = b2 + c2

$\large \Rightarrow c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{21^{2}-18^{2}}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}$ (do c > 0).

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác sin, ta có:

$\large \sin B=\frac{b}{a}=\frac{18}{21}=\frac{6}{7}\Rightarrow \widehat{B}\approx 59^{o}$

Theo định lí tổng ba góc của một tam giác, ta có: $\large \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{C}=90^{o}-\widehat{B}\approx 90^{o}-59^{o}=31^{o}$

b) b) Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, theo định lí tổng ba góc của một tam giác, ta có: $\large \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{B}=90^{o}-\widehat{C}\approx 90^{o}-30^{o}=60^{o}$

Theo định lí 2, ta có: $\large AB=c=b.\tan C=10.\tan30^{o}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Theo định lí 1, ta có AC = b = a.cosC $\large \Rightarrow a=\frac{b}{\cos C}=\frac{10}{\cos30^{o}}=\frac{10}{\frac{10}{\sqrt{3}}}=\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$

c) Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có: a2 = b2 + c2

$\large \Rightarrow a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}(a>0)$

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:

$\large \tan B=\frac{b}{c}=\frac{3}{5}\Rightarrow \widehat{B}\approx 31^{o}$

Theo định lí tổng ba góc của một tam giác, ta có: $\large \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{C}=90^{o}-\widehat{B}\approx 90^{o}-31^{o}=59^{o}$

Bài 4.9 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác cos, ta có:

$\large \cos \alpha =\frac{4}{5}\Rightarrow \alpha \approx 36^{o}52'$ .

Vậy góc nghiêng $\large \alpha$ của thùng xe chở rác khoảng 36°52’.

Bài 4.10 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Theo đề ta có hình vẽ:

Tứ giác BCDE là hình chữ nhật nên BE = CD = 15 m.

Xét $\large \Delta$ ABE vuông tại E, theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:

$\large \tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{0,9}{15}=0,06\Rightarrow \widehat{B}\approx 3^{o}26'$

Theo định lí Pythagore, ta có: AB2 = AE2 + BE2.

$\large \Rightarrow AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{0,9^{2}+15^{2}}\approx 15,027(m)$

Vậy góc nghiêng của mái nhà kho khoảng 3°26’ và chiều rộng của mái nhà kho khoảng 15,027 m.

Bài 4.11 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Theo đề ta có hình vẽ:

Hình thoi ABCD có hai đường chéo lần lượt là $\large AC=2\sqrt{3}$ ; BD = 2 và AC cắt BD tại O. Khi đó AC $\large \perp$ BD; O là trung điểm của AC, BD.

$\large \Rightarrow OA=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}; OB=\frac{BD}{2}=\frac{2}{2}=1$

Xét $\large \Delta$ OAB vuông tại O, theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có:

$\large \tan \widehat{BAO}=\frac{OB}{OA}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{BAO}=30^{o}$

Theo định lí tổng ba góc của một tam giác, ta có $\large \widehat{AOB}+\widehat{BAO}+\widehat{ABO}=180^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{ABO}=90^{o}-\widehat{BAO}=90^{o}-30^{o}=60^{o}$

Hình thoi ABCD có AC, BD là đường chéo nên AC, BD lần lượt là tia phân giác của $\large \widehat{BAD}; \widehat{ABC}$

Mà $\large \widehat{A}=\widehat{C};\widehat{B}=\widehat{D}$ (tính chất hình thoi)

$\large \Rightarrow \widehat{A}=\widehat{C}=2\widehat{BAO}=60^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{B}=\widehat{D}=2\widehat{ABO}=120^{o}$

Bài 4.12 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

a) Ta có $\large \widehat{ADC}+\widehat{DCE}=90^{o}$ (hai góc nhọn trong $\large \Delta$ CDE vuông tại E) và $\large \widehat{ACE}+\widehat{DCE}=\widehat{ACD}=90^{o}$ nên $\large \widehat{ADC}=\widehat{ACE}$ (cùng phụ góc ˆ $\large \widehat{DCE}$ ).(1)

Xét $\large \Delta$ ACD vuông tại C, ta có:

$\large \sin \widehat{ADC}=\frac{AC}{AD}(2)$

Xét $\large \Delta$ ACE vuông tại E, ta có:

$\large \sin \widehat{ACE}=\frac{AE}{AC}(3)$

Từ (1), (2) và (3) $\large \Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{AE}{AC}\Rightarrow AC^{2}=AE.AD$

Hình thang ABCD có AD // BC và AB $\large \perp$ BC (do $\large \widehat{B}=90^{o}$ ) nên AB $\large \perp$ AD.

Tứ giác ABCE có $\large \widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{B}=90^{o}$ => ABCE là hình chữ nhật.

=> AE = BC = 4 cm (tính chất hình chữ nhật).

Khi đó, AC2 = 4.16 = 64 nên AC = 8 (cm) (do AC > 0).

b) Theo câu a, ta có:

$\large \sin \widehat{ADC}=\frac{AC}{AD}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{D}=30^{o}$

Bài 4.13 trang 78 sgk toán 9/1 kết nối tri thức

Theo đề ta có hình vẽ:

Xét $\large \Delta$ ABD vuông tại A, ta có:

$\large \tan \widehat{ABD}=\frac{AD}{AB}=\frac{1,65}{1,2}=\frac{11}{8}$

Mà $\large \widehat{ABD}=\widehat{CBE}\Rightarrow \tan \widehat{CBE}=\frac{11}{8}$

Xét $\large \Delta$ BCE vuông tại C, ta có:

$\large CE=BC.\tan\widehat{CBE}=4,8.\frac{11}{8}=6,6(m)$

Vậy chiều cao của cây là 6,6 m.

Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!

Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 chương trình mới

2.2 Bài tập về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 71 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

Xét tam giác ABC vuông tại B có $\large \widehat{BAC}=68^{o}$ , ta có:

$\large AB=AC.\cos \widehat{BAC}=16.\cos68^{o}=6cm$

$\large BC=AC.\sin \widehat{BAC}=16.\cos68^{o}=14,8cm$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có AB = CD = 6 cm và BC = AD = 14,8 cm.

Bài 2 trang 71 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) Gọi BH là đường cao hạ từ B xuống AC.

Khi đó, BH là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC.

Xét tam giác BHC có $\large \widehat{ACH}=30^{o}$ , ta có:

BH = BC . sin 30° = 20 . sin 30° = 10 (cm).

Vậy khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC là 10 cm.

b) Xét tam giác ABC, ta có: $\large \widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^{o}$

$\large \Rightarrow \widehat{BAC}=180^{o}-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180^{o}-30^{o}-22^{o}=128^{o}$

Ta có: $\large \widehat{BAH}=180^{o}-\widehat{BAC}=180^{o}-128^{o}=52^{o}$

Xét tam giác ABH vuông tại H có $\large \widehat{BAH}=52^{o}$

$\large AB.\sin \widehat{BAH}=10\Rightarrow AB=\frac{BH}{\sin \widehat{BAH}}=\frac{10}{\sin 52^{o}}\approx 12,7cm$

$\large AH.\tan \widehat{BAH}=10\Rightarrow AH=\frac{BH}{\tan \widehat{BAH}}=\frac{10}{\tan 52^{o}}\approx 7,8cm$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BHC, ta có: BC2 = CH 2 + BH2

$\large CH=\sqrt{BC^{2}-BH^{2}}=\sqrt{20^{2}-10^{2}}=10\sqrt{3}cm$

$\large AC=CH-AH\approx 10\sqrt{3}-7,8\approx 9,5cm$

Vậy độ dài các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC là:

$\large \widehat{BAC}=128^{o}; AB\approx 7,9cm,AC\approx 9,5cm$

c) Gọi AK là đường cao hạ từ A xuống BC.

Khi đó, AK là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.

Xét tam giác ACK có $\large \\widehat{ACK}=30^{o}$ và AC $\large \approx$ 9,5 cm nên ta có:

$\large AK=AC.\sin \widehat{ACK}\approx 9,5.\sin30^{o}\approx 4,8cm$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC khoảng 4,8 cm.

Bài 3 trang 71 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

Nhìn vào hình ta có tam giác vuông ABC như hình sau:

Xét tam giác ABC vuông tại B có $\large \widehat{ACB}=35^{o}$ nên

$\large AB=BC.\sin\widehat{ACB}=4.\sin35^{o}\approx 2,3m$

Vậy độ cao của vật so với mặt đất khoảng 2,3 m.

Bài 4 trang 71 sgk toán 9/1 chân trời sáng tạo

a) Đặt AH = x (m) (0 < x < 762).

Suy ra BH = 762 - x (m).

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

h = x . tan 6° và h = (762 - x) . tan 4°.

=> x . tan 6° = (762 - x) . tan 4°

x . tan 6° = 762 . tan 4° - x . tan 4°

x . tan 6° + x . tan 4° = 762 . tan 4°

x . (tan 6° + tan 4°) = 762 . tan 4°

$\large \Rightarrow x=\frac{762.\tan4^{o}}{\tan6^{o}+\tan4^{o}}$

$\large \Rightarrow h=\frac{762.\tan4^{o}}{\tan6^{o}+\tan4^{o}}.\tan6^{o}\approx 32m$

Vậy chiều cao h của con dốc khoảng 32 m.

b) Xét tam giác AHC vuông tại H có: $\large \widehat{A}=6^{o}$ nên h = AC . sin A.

$\large \Rightarrow AC=\frac{h}{\sin A}=\frac{32}{\sin 6^{o}}\approx 306,1m=0,3061km$

Xét tam giác BHC vuông tại H có $\large \widehat{B}=4^{o}$ nên h = BC . sin B.

$\large \Rightarrow BC=\frac{h}{\sin B}=\frac{32}{\sin 4^{o}}\approx 458,7m=0.4587km$

Thời gian An đi từ nhà đến trường là:

$\large \frac{0,3061}{4}+\frac{0,4587}{19}\approx 0,1 (h)= 6'$

Lúc 6 giờ sáng, bạn An đi xe đạp từ nhà và đến trường vào lúc:

6 giờ + 6 phút = 6 giờ 6 phút.

Vậy bạn An đến trường lúc 6 giờ 6 phút.

2.3 Bài tập về hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 cánh diều

Bài 1 trang 86 sgk toán 9/1 cánh diều

a) Từ hình ta có:

x = 6.cos56° $\large \approx$ 3,4 (cm).

y = 6.sin56° $\large \approx$ 5,0 (cm).

b) Từ hình ta có:

x = 1,5.cot32° $\large \approx$ 2,4 (cm).

$\large 1,5=y.\sin 32^{o}\Rightarrow y=\frac{1,5}{\sin32^{o}}\approx 2,8cm$

c) Từ hình ta có:

$\large 0,8=x.\cos70^{o}\Rightarrow x=\frac{0,8}{\cos70^{o}}\approx 2,3cm$

y = 0,8.tan70° $\large \approx$ 2,2 (cm).

Bài 2 trang 86 sgk toán 9/1 cánh diều

Xét $\large \Delta$ ABH vuông tại H, ta có:

$\large \sin B=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AB=\frac{AH}{\sin40^{o}}=\frac{6}{\sin40^{o}}\approx 9,3cm$

$\large BH=AH.\cot B=6.\cot40^{o}\approx 7,2cm$

Xét $\large \Delta$ ACH vuông tại H, ta có:

$\large \sin C=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AC=\frac{AH}{\sin35^{o}}=\frac{6}{\sin35^{o}}\approx 10,5cm$

$\large CH=AH.\cot C=6.\cot35^{o}\approx 8,6cm$

Khi đó, BC = BH + HC $\large \approx$ 7,2 + 8,6 = 15,8 (cm).

Bài 3 trang 86 sgk toán 9/1 cánh diều

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, ta có: AC = BC.sinB = BC.sin30o = 1/2BC.

Vậy AC = 1/2BC.

Bài 4 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều

Vì $\large \Delta$ ABC vuông cân tại A nên $\large \widehat{B}=\widehat{C}=45^{o}$ và AB = AC. Ta có:

$\large AB=BC.\sin C = BC. \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$

Mà AB = AC nên $\large AB=AC=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$

Bài 5 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều

a) Xét $\large \Delta$ OAB vuông tại A, ta có: OA = AB.cotO = m.cot $\large \alpha$ .

b) Xét $\large \Delta$ OAC vuông tại C, ta có:

$\large AC=OA.\sin O=m\cot \alpha. \sin \alpha =m.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }.\sin \alpha =m. \cos \alpha$

c) Xét $\large \Delta$ OAC vuông tại C, ta có:

$\large OC =OA.\cos O=m\cot \alpha. \cos \alpha =m.\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }.\cos \alpha =m.\frac{cos^{2}\alpha }{\sin \alpha }$

Xét $\large \Delta$ OCD vuông tại D, ta có:

$\large CD=OC.\sin O=m.\frac{\cos^{2}\alpha }{sin \alpha }.\sin \alpha =m.\cos^{2}\alpha$

Bài 6 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều

Xét $\large \Delta$ OAB vuông tại B, có $\large \widehat{O_{1}}=30^{o}$ , theo Bài 3, SGK Toám 9, Tập 1, trang 86, ta có:

$\large AB=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}.2=1cm$

Ta cũng có: $\large BO=AO.\cos \widehat{O_{1}}=2.\cos 30^{o}=2.\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}cm$

Tương tự, ta cũng có:

$BC=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}.\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}cm; CO=BO.\cos \widehat{O_{2}}=\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}cm$

$CD=\frac{1}{2}CO=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}cm; DO=CO.\cos \widehat{O_{3}}=\frac{3}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}cm$

$DE=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{2}.\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{8}cm; EO=DO.\cos \widehat{O_{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{8}cm$

$EG=\frac{1}{2}EO=\frac{1}{2}.\frac{9}{8}=\frac{9}{16}cm; GO=EO.\cos \widehat{O_{5}}=\frac{9}{8}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{16}cm$

$GH=\frac{1}{2}GO=\frac{1}{2}.\frac{9\sqrt{3}}{16}=\frac{9\sqrt{3}}{32}cm$

Vậy độ dài đường gấp khúc ABCDEGH là:

$\large 1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{8}+\frac{9}{16}+\frac{9\sqrt{3}}{32}$

$\large =\frac{32}{32}+\frac{16\sqrt{3}}{32}+\frac{24}{32}+\frac{12\sqrt{3}}{32}+\frac{18}{32}+\frac{9\sqrt{3}}{32}=\frac{74+37\sqrt{3}}{32}$

$\large \approx 4,3cm$

Bài 7 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều

Xét $\large \Delta$ ABC vuông tại A, ta có:

$\large \cos B=\frac{AB}{BC}\Rightarrow BC=\frac{AB}{\cos B}=\frac{100}{\cos35^{o}}\approx 122,1m$

Bài 8 trang 87 sgk toán 9/1 cánh diều

Vì AH $\large \perp$ BC và BD $\large \perp$ BC nên AH // BD. Do đó $\large \widehat{ABD}=\widehat{BAH}=28^{o}$ (so le trong).

Khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà là:

$\large BD=AD.\cot \widehat{ABD}-68.\cot28^{o}\approx 127,9m$

Do tứ giác ADBH có $\large \widehat{ADB}=\widehat{AHB}=\widehat{DBH}=90^{o}$ nên ADBH là hình chữ nhật.

=> AH = DB $\large \approx$ 127, 9 (m) và HB = AD = 68 (m).

Do $\large \Delta$ AHC vuông tại H, ta có:

$\large CH=AH.\tan\widehat{CAH}\approx 127,9.\tan 43^{o}\approx 119,3m$

Chiều cao BC của tháp truyền hình là:

BC = BH + HC $\large \approx$ 68 + 119,3 = 187,3 (m).

Vậy khoảng cách BD từ chân tháp đến chân tòa nhà khoảng 127,9 mét và chiều cao BC của tháp

truyền hình khoảng 187,3 mét.

Trên đây là bài học Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán 9 THCS hiệu quả nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

Định lí Viète
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Tỉ số lượng giác của góc nhọn