Giải Bài Tập Cấp Số Cộng - Bài 3 - Toán 11

1. Lý thuyết cấp số cộng

1.1. Khái niệm cấp số cộng:

Là 1 dãy số hữu hạn hoặc vô hạn, trong đó từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi là công sai d (d được gọi là công sai của cấp số cộng).Dãy số (un) được xác định bởi:

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=a& \\ u_{n+1}=u_{n}+d \end{matrix}\right.$

$n\in N^{*}$

Lưu ý: Trường hợp đặc biệt khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Ví dụ:

Dãy số tự nhiên chẵn 2,4,6,8,...2n,... Là một cấp số cộng với công sai d=2

Dãy số 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29 là một cấp số cộng với công sai 3.

1.2. Công thức cấp số cộng

1.2.1. Công thức số hạng tổng quát

Với cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d thì số hạng tổng quát $u_{n}$ của nó được xác định bằng với công thức cấp số cộng sau: $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$.

Ví dụ: Cho cấp số cộng un có $u_{1}$=2, công sai d= 3, tính $u_{13}$

Ta có: $u_{13}=u_{1}+(13-1)d=38$

1.2.2. Tính tổng của cấp số hạng

Giả sử $u_{n}$ là một cấp số cộng, với mọi số nguyên dương n, gọi $S_{n}$ là tổng n số hạng đầu tiên của nó, ($S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+...+u_{n}$). Khi đó ta có: $S_{n}=\frac{(u_{1}+u_{2})n}{2}$

Kết hợp với công thức: $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$, ta có:

$S_{n}=\frac{\left [ 2u_{1}+(n-1)d \right ]n}{2}= nu_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$

Ví dụ: Cho cấp số cộng $u_{n}$ có số hạng đầu tiên $u_{1}=3$ công sai d=5, tính tổng 20 số hạng đầu tiên.

Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng ta có:

$S_{20}=\frac{\left [ 2.3+(20-1).5 \right ]20}{2}=1010$

1.3. Tính chất của cấp số cộng

Trong 1 cấp số cộng, trừ số hạng đầu và số hạng cuối thì mỗi số hạng đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó:

Đăng ký ngay khóa học DUO 11 để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán sớm ngay từ bây giờ

2. Hướng dẫn giải bài tập cấp số cộng chi tiết và dễ hiểu nhất

2.1. Tìm cấp số cộng, các yếu tố trong bài tập cấp số cộng

Phương pháp giải bài tập cấp số cộng dạng xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng như sau:

+ Dãy số ($u_{n}$) là một cấp số cộng ⇔ $u_{n+1}-u_{n}=d$ không phụ thuộc vào n và d là công sai.

+ Để xác định một cấp số cộng, ta cần tìm số hạng đầu $u_{1}$ và công sai d. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua $u_{n}$ và d.

Ta cùng xét các ví dụ bài tập cấp số cộng có lời giải sau đây:

VD1: Cho 1 cấp số cộng $u_{n}$ biết rằng số hạng đầu $u_{1}$=13 ; và $u_{8}$=26. Cấp số cộng có công sai bằng bao nhiêu?

Lời giải:

VD2:Tìm công sai của một cấp số cộng biết số hạng đầu $u_{1}$= - 6 và số hạng $u_{9}$= 50.

Áp dụng công thức: $u_{n}=u_{1}$+d(n-1)

$u_{1}$=6, n=9, $u_{9}$=50

Vậy đáp án là d=7

VD3: Tìm 4 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng là 20 và tổng bình phương của chúng là 120.

Lời giải:

VD4: Cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14;...Tìm d, tổng của 20 số hạng đầu tiên.

Lời giải:

Ta có $-5=-2+(-3); -8=-5+(-3); -11=-8+(-3); -14=-11+(-3);...d=-3$

Áp dụng công thức $S_{n}=nu_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$, ta có: $S_{20}=-610

2.2. Tìm điều kiện để dãy số là một cấp số cộng

Phương pháp: Lập cấp số cộng của dãy số a,b,c

VD1: Cho phương trình sau: $x^{3}-3x^{2}-9x+m=0$, tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Lời giải:

VD2: Cho cấp số cộng $u_{n}$ với a, b, c theo thứ tự là một cấp số cộng, đẳng thức nào đúng:

A. $a^{2}+c^{2}=2ab+2bc+2ac$ B. $a^{2}-c^{2}=2ab+2bc-2ac$ C. $a^{2}+c^{2}=2ab+2bc-2ac$ D. $a^{2}-c^{2}=2ab-2bc+2ac$

Lời giải:

Đáp án là C

VD3: Xác định x để 3 số:1+2x, $2x^{2}-1$, -2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng giải bài tập cấp số cộng thường gặp trong chương trình Toán 11. Để đạt được kết quả cao các em nên làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Hy vọng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thành thục. Để học và ôn tập nhiều hơn, các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!