Hình lăng trụ tam giác đều: Định nghĩa, tính chất và công thức đầy đủ

Lăng trụ tam giác đều là một nội dung được đề cập đến trong chương trình môn Toán lớp 11 phần Hình học. Bài viết sau đây nhằm giới thiệu về hình lăng trụ tam giác đều cũng như một số vấn đề trọng tâm liên quan. Để hiểu rõ hơn về nội dung chi tiết, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Lăng trụ tam giác đều là gì ?

+ Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều.

Ví dụ: Hình vẽ dưới đây là hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'

2. Các tính chất lăng trụ tam giác đều

+ Hai đáy là hai tam giác đều bằng nhau.

+ Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.

+ Mỗi cạnh bên đều vuông góc với hai đáy.

3. Số mặt đối xứng của lăng trụ tam giác đều

+ Mỗi hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng. Đó là:

• Mặt phẳng đi qua trung điểm của các cạnh bên (có 1 mặt phẳng)
• Mặt phẳng đi qua 1 cạnh bên và 2 đường cao hạ từ 2 điểm tạo nên cạnh bên đó xuống các cạnh đối diện trong 2 đáy (có 3 mặt phẳng)

Ví dụ: Mặt phẳng (A'DEA) là một mặt phẳng đối xứng của hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'

4. Một số công thức hình lăng trụ tam giác đều

4.1. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ tam giác đều

+ Muốn tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ tam giác đều, ta lấy chu vi đáy nhân với chiều cao.

+ Công thức: Sxq = P.h

Trong đó: P là chu vi đáy; h là chiều cao

Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 2a (cm) và chiều cao là 3a (cm)

Giải

+ Chu vi đáy của hình lăng trụ tam giác đều là:

P = 3.2a = 6a (cm)

+ Diện tích xung quanh của hình lăng trụ tam giác đều là:

Sxq = P.h = 6a.3a = 18a2 (cm2)

4.2. Diện tích toàn phần của hình lăng trụ tam giác đều

+ Muốn tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ tam giác đều, ta lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy.

+ Công thức: Stp = Sxq + S2đáy

Chú ý: Đối với tam giác đều cạnh a có diện tích tương ứng là: a2.

Ví dụ: Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 2a (cm) và chiều cao là 3a (cm)

Giải

+ Ở ví dụ nêu trên, chúng ta đã tìm được diện tích xung quanh của hình lăng trụ tam giác đều là:

Sxq = 18a2 (cm2)

+ Diện tích hai đáy của hình lăng trụ tam giác đều là:

S2đáy = 2.S1đáy = 2. (2a)2 . = 2 a2 (cm2)

+ Diện tích toàn phần của hình lăng trụ tam giác đều là:

Stp = Sxq + S2đáy = 18a2 + 2 a2 = (18 + 2 ).a2 (cm2)

4.3. Thể tích của hình lăng trụ tam giác đều

+ Muốn tính thể tích của hình lăng trụ tam giác đều ta lấy diện tích đáy nhân với chiều cao.

+ Công thức: V = Sđáy.h

Ví dụ: Tính thể tích của hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 2a (cm) và chiều cao là 3a (cm)

Giải

Diện tích đáy của hình lăng trụ tam giác đều là:

Sđáy = (2a)2. = a2 (cm2)

Thể tích của hình lăng trụ tam giác đều là:

V = Sđáy.h = a2.3a = 3a3 (cm3)

5. Bài tập lăng trụ tam giác đều

Bài 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:

1. Mỗi hình lăng trụ tam giác đều đều có 4 mặt phẳng đối xứng
2. Thiết diện của các mặt phẳng đối xứng trong hình lăng trụ tam giác đều với hình lăng trụ tam giác đều đều giống nhau
3. Mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh bên của hình lăng trụ tam giác đều là một mặt phẳng đối xứng của hình lăng trụ tam giác đều đó
4. Thiết diện của mặt phẳng đối xứng khi đi qua trung điểm các cạnh bên của hình lăng trụ tam giác đều và hình lăng trụ tam giác đều có dạng là một hình tam giác đều

+ Mặt phẳng đi qua trung điểm của các cạnh bên là mặt phẳng đối xứng có thiết diện với hình lăng trụ tam giác đều là một tam giác đều.

+ Mặt phẳng đi qua 1 cạnh bên và 2 đường cao hạ từ 2 điểm tạo nên cạnh bên đó xuống các cạnh đối diện trong 2 đáy là mặt phẳng đối xứng có thiết diện với hình lăng trụ tam giác đều là một hình chữ nhật.

Chọn câu B

Bài 2: Trong các hình lăng trụ tam giác đều sau đây, hình có diện tích xung quanh lớn nhất là:

1. Hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy là a; chiều cao là 5a
2. Hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 2a; chiều cao là 3a
3. Hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 3a; chiều cao là 2a
4. Hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 2a; chiều cao là 4a

+ Ở câu A, Sxq = 3.a.5a = 15a2 (đvdt)

+ Ở câu B, Sxq = 3.2a.3a = 18a2 (đvdt)

+ Ở câu C, Sxq = 3.3a.2a = 18a2 (đvdt)

+ Ở câu D, Sxq = 3.2a.4a = 24a2 (đvdt)

Chọn câu D

Bài 3: Khi tăng độ dài cạnh đáy lên 4 lần và giảm độ dài cạnh bên xuống 2 lần thì thể tích của hình lăng trụ tam giác đều sẽ:

1. Không đổi
2. Tăng lên 4 lần
3. Tăng lên 8 lần
4. A, B, C đều sai

+ Gọi a; b lần lượt là độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình lăng trụ tam giác đều.

+ Thể tích lúc đầu của hình lăng trụ tam giác đều là:

V = Sđáy.h = a2.b = a2b (đvtt)

+ Thể tích lúc sau của hình lăng trụ tam giác đều là:

V' = Sđáy.h = (4a)2. = 2a2b (đvtt)

+ Ta có: = 8

Vậy, thể tích lúc sau tăng 8 lần so với thể tích lúc đầu.

Chọn câu C

Bài 4: Hình lăng trụ tam giác đều có tất cả:

1. 6 cạnh
2. 9 cạnh
3. 5 cạnh
4. A, B, C đều sai

Chọn câu B

Bài 5: Hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 3 (cm); chiều cao là 8 (cm) thì diện tích toàn phần là:

1. 72 + (cm2)
2. 72 + (cm2)
3. 72 + (cm2)
4. 72 + (cm2)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ tam giác đều là:

Stp = Sxq + S2đáy = 3.3.8 + 2.32. = 72 + (cm2)

Chọn câu A

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể nhận biết được thế nào là hình lăng trụ tam giác đều cũng như giải quyết được các bài tập liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang