Công thức tổng quát tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện và các trường hợp đặc biệt | Học toán online chất lượng cao 2024 | Vted

Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện và các vấn đề liên quan

Xem thêm Công thức xác định thể tích của khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h

Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tổng quát cho khối tứ diện (tham khảo thêm)

Ta có công thức Crelle thể hiện mối quan hệ giữa thể tích và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện \[S=6VR,\] trong đó $S$ là diện tích của tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là tích độ dài các cặp cạnh đối diện của tứ diện; $V$ là thể tích khối tứ diện và $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đó.

Ví dụ. Cho khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5,CD=\sqrt{10},AC=2\sqrt{2},BD=3\sqrt{3},AD=\sqrt{22},BC=\sqrt{13}.$Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đã cho bằng

Xét tam giác có độ dài các cạnh $a=AB.CD=5\sqrt{10};b=AC.BD=6\sqrt{6};c=AD.BC=\sqrt{286}\Rightarrow p=\dfrac{a+b+c}{2}$

Diện tích tam giác này là $S=\sqrt{p\left( p-a \right)\left( p-b \right)\left( p-c \right)}=15\sqrt{51}.$

Tính thể tích khối tứ diện này theo các góc tại đỉnh A:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x = \cos \widehat {BAC} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \dfrac{{{5^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.5.2\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\y = \cos \widehat {CAD} = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}}}{{2AC.AD}} = \dfrac{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {22} } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt 2 .\sqrt {22} }} = \dfrac{5}{{2\sqrt {11} }}\\z = \cos \widehat {DAB} = \dfrac{{A{D^2} + A{B^2} - B{D^2}}}{{2AD.AB}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {22} } \right)}^2} + {5^2} - {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.\sqrt {22} .5}} = \sqrt {\dfrac{2}{{11}}}\end{array} \right.$Khi đó $V=\dfrac{1}{6}AB.AC.AD\sqrt{1+2xyz-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}}=5.$

Vì vậy áp dụng công thức Crelle ta có $S=6VR\Rightarrow R=\dfrac{15\sqrt{51}}{30}=\dfrac{\sqrt{51}}{2}.$

>>Xem thêm Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện