Khám phá công thức tính đường chéo hình thoi & ví dụ minh họa

Bạn đang muốn hiểu rõ về cách tính đường chéo hình thoi? Hãy tìm hiểu cùng chúng tôi về công thức tính đường chéo hình thoi và xem những ví dụ minh họa chi tiết dưới đây.

I. Hình thoi và đường chéo

Hình thoi là một tứ giác có cả bốn cạnh bằng nhau, và đường chéo là đoạn thẳng kết nối hai đỉnh không kề nhau của hình thoi.

Đặc điểm của hình thoi

• Các góc bằng nhau
• Hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm
• Hai đường chéo là phân giác của các góc
• Có tất cả các đặc tính của hình bình hành (cạnh đối song song và bằng nhau; góc đối bằng nhau; hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm)

Đường chéo của hình thoi là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện, chia hình thoi thành hai tam giác đều. Hình thoi có hai đường chéo, giao điểm chúng là trung điểm của hình thoi.

II. Công thức tính đường chéo hình thoi

1. Công thức tính đường chéo hình thoi theo diện tích

Sử dụng công thức tính diện tích hình thoi: S=d1×d22S=d1×d22

Trong đó: S là diện tích hình thoi; d1 và d2d 1 và d2 là hai đường chéo của hình thoi.

Từ đó ta có công thức tính đường chéo hình thoi là d1=S×2d1d1=S×2d2 hay d2=S×2d1'>d2=S×2d1d2=S×2d1

2. Công thức tính đường chéo hình thoi theo định lý cosin

Định lý cosin mô tả mối liên kết giữa độ dài các cạnh của tam giác với cosin của góc tương ứng.

Công thức cosin: c2=a2+b2+2abcosγc2=a2+b2+2abcos⁡γ

Trong đó: a, b, c là các cạnh của tam giác, γ là góc tương ứng giữa hai cạnh a và b.

3. Công thức tính đường chéo hình thoi theo định lý Pytago

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông tại góc giao điểm của hai đường chéo hình thoi. Bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại.

Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD có cạnh a và một góc ABC = 60 độ. Tính hai đường chéo hình thoi.

Bài toán giải

Vì hình thoi ABCD có các cạnh bằng nhau, nên các cạnh của nó đều có độ dài là a.

Xét tam giác ABCD với các cạnh AB, BC, CD bằng a.

Góc ABC bằng 60 độ.

=> Tam giác ABC là tam giác đều với cạnh độ dài a.

Độ dài ba cạnh tam giác ABC lần lượt là a, a và a. Độ dài đường chéo chính AC cũng bằng a.

Cho điểm I là giao điểm của hai đường chéo, áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABI, ta có:

=> Dùng công thức tính chiều dài đoạn BI: BI = (a√3)/2

=> Kết luận: Độ dài đoạn BI bằng (a√3)/2

Do đó, đoạn BD bằng gấp đôi chiều dài đoạn BI, tức là BD = 2(a√3).

III. Ví dụ minh họa

Dạng 1: Bài toán yêu cầu tìm độ dài đoạn chéo còn lại khi biết chiều dài một đoạn chéo.

Ví dụ 2: Hình thoi có đoạn chéo nhỏ là 4 cm, đoạn chéo lớn bằng gấp đôi đoạn chéo nhỏ. Tính độ dài đoạn chéo lớn?

Giải bài toán

Gọi đoạn chéo nhỏ và lớn của hình thoi lần lượt là d1 và d2.

Kết quả: Đoạn chéo nhỏ là 4 cm và đoạn chéo lớn là gấp đôi đoạn chéo nhỏ, tức là d2 = 8 cm.

Vậy độ dài đoạn chéo lớn d2 là 8 cm.

Ví dụ 3: Hình thoi có hiệu độ dài hai đường chéo là 10 cm, đoạn chéo thứ nhất gấp 3 lần đoạn chéo thứ hai. Tính độ dài hai đường chéo?

Giải bài toán

Gọi đoạn chéo lớn và nhỏ của hình thoi lần lượt là d1 và d2.

Kết quả: Độ dài đoạn chéo lớn d1 - đoạn chéo nhỏ d2 = 10 cm, và đoạn chéo lớn d1 = 3 đoạn chéo nhỏ d2.

Kết luận: Đoạn chéo nhỏ d2 của hình thoi là 5 cm, đoạn chéo lớn d1 là 15 cm.

Dạng 2: Bài toán về diện tích và độ dài đường chéo

Gợi ý: Sử dụng công thức tính độ dài đường chéo của hình thoi dựa trên diện tích để giải bài toán này.

Ví dụ 4: Hình thoi có diện tích 200 cm vuông, độ dài đường chéo là 10. Tính độ dài đường chéo còn lại.

Giải bài toán:

Áp dụng công thức tính đường chéo hình thoi theo diện tích hình thoi d1 = (s × 2) ÷ d2.

Kết quả: Đường chéo còn lại là 40 cm.

Vậy độ dài đường chéo còn lại của hình thoi là 40 cm.

Dạng 3: Bài toán về cạnh và đường cao của hình thoi, yêu cầu tìm độ dài hai đường chéo

Ví dụ 5: Hình thoi ABCD có cạnh 12,5 cm, đường cao 6,72 cm, AC nhỏ hơn BD. Hỏi độ dài hai đường chéo AC và BD là bao nhiêu?

Giải bài toán

Kết quả: Diện tích hình thoi S = h x a = 6,72 x 12,5 = 84 cm².

=> (AC × BD) ÷ 2 = 84 => 2AC x BD = 336

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình thoi.

Xét tam giác vuông AOB, ta có AC² = OA² + OB²

mà OA = 1/2 AC; OB = 1/2 BD => 12,5² + 5² = (AC² + BD²)/4 => 625 = AC² + BD²

=> AC + BD = 31 (1).

AC² + BD² = 625 <=> (BD - AC)² = 289

=> BD - AC = 17 (Theo đề bài BD > AC) (2)

Từ (1) và (2), ta có: BD = 24, AC = 7cm.

Mytour đã chia sẻ khái niệm cơ bản về hình thoi, công thức tính đường chéo theo diện tích, công thức tính đường chéo theo định lý cosin, và định lý Pytago. Với ví dụ minh họa chi tiết, bạn sẽ hiểu cách tính đường chéo hình thoi và giải bài tập dễ dàng. Cảm ơn bạn đã quan tâm và theo dõi bài viết.