20/12/2024 13:05

In bài này (Ctrl+P)

Bảng tổng hợp công thức lượng giác đầy đủ

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xét trường hợp trong một tam giác vuông ta sẽ có công thức về tỉ số lượng giác như sau:

sin : được tính là là tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh huyền của góc

cos : được tính là tỉ số giữa độ dài cạnh kề và độ dài cạnh huyền của góc

tan : được tính là tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh kề của góc

cot : được tính là tỉ số giữa độ dài cạnh kề và cạnh đối của góc

Mẹo học thuộc công thức lượng giác : "Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, ,Cot kết đoàn"

2. Các công thức lượng giác cơ bản:

$tanx= \frac{sinx}{cosx}$

$cotx= \frac{cosx}{sinx}$

$sin^{2}x + cos^{2}x = 1$

$tanx . cotx = 1 (x\neq k\frac{\pi }{2}, k\in Z )$

$1 + tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x} (x \neq \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in Z)$

$1 + cot^{2}x = \frac{1}{sin^{2}x} (x \neq \frac{\pi }{2}+k\pi , k\in Z)$

3. Các công thức cộng lượng giác

sin (a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b

cos (a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b

cos (a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b

$tan(a+b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a.tan b}$

$tan(a-b) = \frac{tan a - tan b}{1 + tan a.tan b}$

Mẹo học thuộc công thức cộng lượng giác:

Các em học sinh có thể học công thức cộng lượng giác theo câu thơ sau: "Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan."

4. Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

Trong trường hợp 2 góc đối nhau

cos (-x) = cos x

sin (-x) = -sin x

tan (-x) = -tan x

cot (-x) = -cot x

Trong trường hợp 2 góc bù nhau

sin ( $\pi$ - x) = sin x

cos ( $\pi$ - x) = -cos x

tan ( $\pi$ - x) = -tan x

cot ( $\pi$ - x) = -cot x

Trong trường hợp 2 góc phụ nhau

$sin(\frac{\pi }{2} - x) = cosx$

$cos(\frac{\pi }{2} - x) = sinx$

$tan(\frac{\pi }{2} - x) = cotx$

$cot(\frac{\pi }{2} - x) = tanx$

Trong trường hợp hai góc hơn kém π

sin ( $\pi$ + x) = -sin x

cos ( $\pi$ + x) = -cos x

tan ( $\pi$ + x) = tan x

cot ( $\pi$ + x) = cot x

Trong trường hợp hai góc hơn kém π/2:

$sin(\frac{\pi }{2} + x) = cosx$

$cos(\frac{\pi }{2} + x) = -sinx$

$tan(\frac{\pi }{2} + x) = -cotx$

$cot(\frac{\pi }{2} + x) = -tanx$

Nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập về phương trình lượng giác với bộ tài liệu đọc quyền của VUIHOC ngay

5. Công thức nhân lượng giác

Công thức lượng giác nhân đôi

sin2x = 2sinx.cosx

$cos2x = cos^{2}x - sin^{2}x = 2cos^{2}x - 1 = 1 - 2sin^{2}x$

$tan2x = \frac{2tanx}{1 - tan^{2}x}$

$cot2x = \frac{cot^{2}x - 1}{2cotx}$

Công thức lượng giác nhân ba

$sin3x = 3sinx - 4sin^{3}x$

$cos3x = 4cos^{3}x - 3cosx$

$tan3x = \frac{3tanx - tan^{3}x}{1 - 3tan^{2}x}$

Công thức lượng giác nhân bốn

$sin4x = 4.sinx.cos^{3}x - 4.cosx.sin^{3}x$

$cos4x = 8.cos^{4}x - 8.cos^{2}x + 1$

hoặc ta có thể sử dụng $cos4x = 8.sin^{4}x - 8.sin^{2}x + 1$

6. Công thức hạ bậc lượng giác

Về cơ bản công thức hạ bậc lượng giác đều được biến đổi từ công thức lượng giác cơ bản:

$sin^{2}x = 1 - cos^{2}x = 1 - \frac{cos2x + 1}{2} = \frac{1 - cos2x}{2}$

$cos^{2}x = \frac{1 + cos2x}{2}$

$sin^{3}x = \frac{3sinx - sin3x}{4}$

$cos^{3}x = \frac{3cosx + cos3x}{4}$

7. Công thức lượng giác biến tổng thành tích

$cosa + cosb = 2cos\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}$

$cosa - cosb = -2sin\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}$

$sina + sinb = 2sin\frac{a+b}{2}.cos\frac{a-b}{2}$

$sina - sinb = 2cos\frac{a+b}{2}.sin\frac{a-b}{2}$

$tana + tanb = \frac{sin(a+b)}{cosa.cosb}$

$tana - tanb = \frac{sin(a-b)}{cosa.cosb}$

$sina + cosa = \sqrt{2}sin(a + \frac{\pi }{4}) = \sqrt{2}cos(a - \frac{\pi }{4})$

$sina - cosa = \sqrt{2}sin(a - \frac{\pi }{4}) = -\sqrt{2}cos(a + \frac{\pi }{4})$

$tana + cota = \frac{2}{sin2a}$

$cota - tana = 2cot2a$

$sin^{4}a + cos^{4}a = 1 - \frac{1}{2}sin^{2}2a = \frac{1}{4}cos4a + \frac{3}{4}$

$sin^{6}a + cos^{6}a = 1 - \frac{3}{4}sin^{2}2a = \frac{3}{8}cos4a + \frac{5}{8}$

8. Công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng

$cosa.cosb = \frac{1}{2}[cos(a+b) + cos(a-b)]$

$sina.sinb = -\frac{1}{2}[cos(a+b) - cos(a-b)]$

$sina.cosb = -\frac{1}{2}[sin(a+b) + sin(a-b)]$

9. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác

Đối với các phương trình lượng giác cơ bản

$sina = sinb \Leftrightarrow \begin{bmatrix} a = b + k2\pi & \\ a = \pi - b + 2k\pi & k \in Z \end{bmatrix}$

$cosa = cosb \Leftrightarrow \begin{bmatrix} a = b + k2\pi & \\ a = - b + 2k\pi & k \in Z \end{bmatrix}$

$tana = tanb \Leftrightarrow a = b + k\pi ; k \in Z$

$cota = cotb \Leftrightarrow a = b + k\pi ; k \in Z$

Phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt

$sina = 0 \Leftrightarrow a = k\pi (k\in Z)$

$sina = 1 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + 2k\pi (k\in Z)$

$sina = -1 \Leftrightarrow a = -\frac{\pi }{2} + 2k\pi (k\in Z)$

$cosa = 0 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{2} + k\pi (k\in Z)$

$cosa = 1 \Leftrightarrow a = 2k\pi (k\in Z)$

$cosa = -1 \Leftrightarrow a = \pi + 2k\pi (k\in Z)$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi toán THPT sớm ngay từ bây giờ

Bảng tổng hợp công thức lượng giác đầy đủ

10. Bảng xét dấu của các giá trị lượng giác

Góc phần tư sốIIIIIIIV Sinx dương dương âm âm Cosx dương âm âm dương Tanx dương âm dương âm Cotx dương âm dương âm

11. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau (là 2 góc có tổng bằng 90 độ)

sina = cosb.cosa = sinb

tana = cotb.cota = tanb

Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

(0 độ)

$\frac{\pi }{6}$

(30 độ)

$\frac{\pi }{4}$

(45 độ)

$\frac{\pi }{3}$

(60 độ)

$\frac{\pi }{2}$

(90 độ)

$\frac{2\pi }{3}$

(120 độ)

$\frac{3\pi }{4}$

(135 độ)

$\frac{5\pi }{6}$

(150 độ)

$\pi$

(180 độ)

$\frac{3\pi }{2}$

(270 độ)

$2\pi$

(360 độ)

sina 0 $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0 -1 0 cosa 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ 0 $\frac{-1}{2}$ $\frac{-\sqrt{2}}{2}$ $\frac{-\sqrt{3}}{2}$ -1 0 -1 tana 0 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 1 $\sqrt{3}$ $\parallel$ $-\sqrt{3}$ -1 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ 0 $\parallel$ 0 cota $\parallel$ $\sqrt{3}$ 1 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 0 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ -1 $-\sqrt{3}$ $\parallel$ 0 $\parallel$

12. Các công thức lượng giác nâng cao bổ sung

Đặt $t = \frac{tanx}{2}$

Lúc này ta có thể biểu diễn các công thức lượng giác khác theo t như sau:

$sinx = \frac{2t}{1 + t^{2}}$

$cosx = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}$

$tanx = \frac{2t}{1 - t^{2}}$

$cotx = \frac{1 - t^{2}}{2t}$

13. Các bài thơ về công thức lượng giác

Bài thơ về công thức cộng lượng giác

"Sin thì sin cos cos sin

Cos thì cos cos sin sin rồi trừ

Tang tổng thì lấy tổng tang

Chia 1 trừ với tích tang, dễ mà."

Bài thơ về công thức về tan tổng

$tan(a+b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a.tan b}$

"Tan 2 tổng 2 tầng cao rộng

Trên thượng tầng tan cộng cùng tan

Hạ tầng số 1 rất ngang tàng

Dám trừ đi cả tan tan anh hùng"

Câu thơ ghi nhớ bảng giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt

"Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi (π)"

Câu thơ ghi nhớ nhanh công thức lượng giác biến đổi tổng thành tích

"Tính sin tổng ta lập tổng sin cô

Tính cô tổng lập ta hiệu đôi cô đôi chàng

Còn tính tan tử + đôi tan (hay là: tan tổng lập tổng 2 tan)

1 trừ tan tích mẫu mang thương rầu

Nếu gặp hiệu ta chớ lo âu,

Đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng"

Đặc biệt đối với trường hợp tổng của tan ta có:

"Tang mình + với tang ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình"

tana + tanb: "Tình mình cộng lại tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta"

tana - tanb: "Tình mình trừ với tình ta sinh ra hiệu chúng, con ta con mình"

Câu thơ ghi nhớ nhanh công thức lượng giác nhân đôi

sin2a= 2sina.cosa (tương tự với các công thức khác)

Phương pháp nhớ nhanh:

"Sin gấp đôi bằng 2 sin cos

Cos gấp đôi bằng bình phương cos trừ đi bình sin

Bằng trừ 1 cộng hai bình cos

Bằng cộng 1 trừ hai bình sin

(Chúng ta chỉ việc nhớ các công thức nhân đôi của cos bằng câu nhớ trên rồi bắt đầu từ đó có thể suy ra các công thức hạ bậc.)

Tan gấp đôi bằng Tan đôi ta lấy đôi tan (2 tan )

Chia một trừ lại bình tan, ra liền."

Trên đây là toàn bộ những kiến thức quan trọng mà các em học sinh cần nắm được về Công thức lượng giác. Hy vọng với bài viết trên sẽ giúp các em dễ dàng ghi nhớ công thức để giải quyết các bài tập liên quan tới lượng giác cũng như giúp các em hệ thống kiến thức trong quá trình ôn thi Toán THPT Quốc gia. Để tìm hiểu thêm về kiến thức về Toán 12 hay các môn học khác, các em học sinh có thể truy cập trực tiếp vào website: vuihoc.vn. Chúc các em đạt được kết quả tốt nhất trong các kì thi sắp tới.

Bài viết có thể tham khảo thêm:

Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Lượng Giác

Lý thuyết và các dạng bài tập hàm số lượng giác

Các Dạng Phương Trình Lượng Giác

Nguyên hàm lượng giác cơ bản

Link nội dung: https://brightschool.edu.vn/bang-tong-hop-cong-thuc-luong-giac-day-du-a23485.html